El Teorema de Kariya y la hipérbola de Feuerbach

Dado un triángulo ABC cualquiera, sean {A₁, B₁, C₁} los puntos de contacto de la circunferencia inscrita (puntos de contacto interior) con los lados {a, b, c}. Si se toman {X, Y, Z} en las rectas que unen el incentro I con los puntos de contacto interior, a la misma distancia k de I y con la misma posición relativa respecto de los puntos de contacto, las rectas AX, BY y CZ concurren en un punto K, el punto de Kariya.

El lugar geométrico de K es una hiperbola equilátera circunscrita al triángulo, por lo que pasa también necesariamente por el ortocentro H (para k =∞). Se trata de la Hipérbola de Feuerbach, que pasa también de forma obvia por el Incentro I (k = 0), y el Punto de Gergonne Ge (k=r, radio de la c¡ircunferencia inscrita), punto de intersección de las cevianas de los puntos de contacto interior. Igualmente pasa por el Punto de Nagel Na (k = -r), donde concurren las cevianas de los puntos de contacto exterior (de los círculos exinscritos) y por el menos conocido Punto de Schiffler Sc, en el que concurren las Líneas de Euler del triángulo ABC y de los triángulos BCI, CAI y ABI.

Esta hipérbola tiene su centro en el Punto de Feuerbach F, de ahí su nombre, que es el de tangencia de la circunferencia inscrita y la Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach.

Aunque este hecho se conocía desde algunos años antes, no se le prestó especial atención hasta de el matemático japonés J. Kariya publicó un artículo sobre él:

Kariya, J. (1904). "Un probleme sur le triangle". L'Enseignement mathematiques. 6: 130–132, 236, 406.

La demostración de Kariya, aunque elemental, es algo farragosa. Mucho más elegante es la que puede verse a continuación, tomada de la famosa colección de ejercicios de geometría de F.G.-M.:

Pueden alejarse o acercarse los puntos {X, Y, Z} a I, pero para una mejor comprensión de la figura conviene que estén separados de I por los puntos {A₁, B₁, C₁} respectivamente.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 1 Abril 2024. Creado con GeoGebra