Hexágono y estrella determinados por tres pares de cevianas simétricas

Se divide cada lado del triángulo ABC en 2n+1 partes iguales y se trazan las cevianas correspondientes a los extremos del segmento central. Las seis delimitan un hexágono Hex y una estrlla de seis puntas Estr, que puede considerarse como la superposición de dos triángulos Tg de áreas iguales, determinados cada uno de ellos por tres cevianas. Las puntas de la estrella, todas de la misma área, son los triángulos Tp.

Pulsando en el botón [Inicia] se registran en la hoja de cálculo los valores qTg, qTp, qHex y qEstr, correspondientes a los cocientes de las áreas del triángulo ABC y estos polígonos.

¿Por qué son iguales las áreas de los dos triángulos Tp determinados por tres cevianas ?
¿Por qué son iguales las áreas de las seis puntas de la estrella?
Si conoces el área de Tg y de Hex, ¿cómo se puede calcular la de Estr?

¿Con los valores de la tabla puedes encontrar una expresión para los cocientes qTg y qHex?

También puedes deducirlos con ayuda del applet: Triángulos determinados por 3 cevianas y la Vista CAS de GeoGebra.

Igulmente puedes consultar el documento Algunos polígonos delimitados por cevianas.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 30 diciembre 2014. Creado con GeoGebra