Hexaedro perfecto

Se trata de un hexaedro que tiene sus aristas y diagonales, de las caras y del sólido, enteras.

Para hallar sus longitudes, conocias las de los lados, no hay más que percatarse que son las diagonales de trapecios isósceles o de rectángulos, que siempre son inscriptibles, por lo que puede aplicarse el Teorema de Ptolomeo o el de Pitágoras. El que aquí se presenta es el mínimo:

d₁·d₁=15·8+7·7 ⇒ d₁ = 13
d₂·d₂=15·15+8·8 ⇒ d₂ = 17
d₃·d₃=15·8+13·13 ⇒ d₃ = 17

Para el cálculo del volumen puede utilizarse la fórmula del Volumen del Pristatoide, siendo las dos bases extremas rectángulos de 15·8 y la sección media un cuadrado de lado (15+8)/2=23/2. Para la altura podemos aplicar el Teorema de Pitágoras en el espacio:

7²=((15-8)/2)² + ((15-8)/2)² + h² ⇒ h = 7√2/2

V=⅙(8·15+4·((15+8)/2)²+15·8)(7√2/2) = 5383√2/12 ≃ 634.3926338

Si se exige que todas las caras sean paralelogramos, tendremos un paralelepípedo perfecto, con un volumen mínimo considerablemente mayor.

Se desconoce si existe un ortoedro perfecto (Ladrillo de Euler), pero caso de existir sus dimensiones deben ser descomunales.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 6 junio 2022. Creado con GeoGebra