Fórmula de Brahmagupta

Permite calcular el área de un cuadrilátero cíclico en función de los lados:

S=√((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))

Debida al matemático indio Brahmagupta (590-670), que no dejó ninguna demostración del mismo, aunque posiblemente la descubriera a partir de la Fórmula de Heron para el área de un triángulo.

Aunque puede obtenerse muy fácilmente como un caso particular de la Fórmula de Bretschneider, la demostración que aquí se presenta es debida a Roger A. Johnson, (Advanced Euclidean Geometry, Dover 2007), y parte de la citada Fórmula de Heron.

Si el cuadrilátero es un rectángulo, la demostración es trivial; en caso contrario hay al menos un par de lados opuestos no paralelos que se cortarán en un punto E, que sin pérdida de generalidad puede suponerse que son el b y el d, con a < c.

La ecuación #3 se obtiene sumando #1 y #2 y añadiendo c.
La ecuación #4 se obtiene sumando #1 y #2 y restando c.
La ecuación #5 se obtiene restando #2 de #1 y añadiendo c.
La ecuación #6 se obtiene restando #1 de #2 y añadiendo c.

Con las mismas longitudes de los lados, se pueden formar hasta tres cuadriláteros inscritos distintos, salvo rotaciones y reflexiones, todos con la misma área e igual radio de la circunferencia circunscrita.

Naturalmente, anulando cualquier lado , por ejemplo haciendo d=0, se obtiene de nuevo la Fórmula de Heron para el área de un triángulo:

S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))

Pueden introducirse valores cualesquiera para los lados en las correspondientes casillas de entrada, siempre que cada uno sea menor que la suma de los otros tres, para calcular el área, pero el dibujo permanecerá inalterado.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 2 diciembre 2021. Creado con GeoGebra