Fórmula de Bretschneider

Permite calcular el área de un cuadrilátero en función de los lados y de un par de ángulos opuestos. Se aplica el Teorema del coseno a los dos triángulos determinados por una diagonal. Como los cuatro ángulos suman 360°, sus mitades suman 180° y cos((α+γ)/2) = -cos((β+δ)/2), por lo que sus cuadrados son iguales y, como era de esperar, es indiferente el par de ángulos opuestos que se elijan.

Debida al matemático alemán Carl Anton Bretschneider (1808-1878), quien la descubrió en en 1842.

Es válida para cualquier cuadrilátero simple, aunque no sea convexo. Con las convenciones adecuadas, se extiende a los cruzados.

Pueden desplazarse los vértices, cuidando de que el cuadrilátero siga siendo simple.

De ella se deduce de forma inmediata la Fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátro cíclico, pues entonces los ángulos opuestos suman 180° y el área queda:

S=√((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))

Se deduce que de todos los cuadriláteros que comparten las mismas longitudes de los lados, el de área máxima es el inscrito, y con independencia del orden relativo de los lados.

A partir de ésta última fórmula, haciendo d=0 se obtiene la Fórmula de Heron para el área de un triángulo:

S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 30 noviembre 2021. Creado con GeoGebra