Concurrencia en los cuadriláteros circunscriptibles

En un cuadrilátero circunscriptible ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en el mismo punto que los segmentos EG y FH que unen los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con lados opuestos.

Los segmentos nombrados de la misma forma (x, y, z y t), tienen la misma longitud pues son tangentes a la circunferencia inscrita trazadas desde el mismo punto.

Pueden desplazarse los puntos E, F, G y H sobre la circunferencia, procurando no cruzarlos. Si se cruzan, el cuadrilátero no será convexo y algunas de las tangencias se producirán en las prolongaciones de los lados. Las rectas que pasan por los cuatro pares de puntos mencionados siguen concurriendo en un punto P, que ahora estará situado fuera de la circunferencia inscrita.

En los paso 1 a 3 se ve que el punto P en que se cortan la diagonal AC y el segmento EG verifica que AP/CP = x/z.

En los passos 4 a 6 dse ve el punto P' en que se cortan la diagonal AC y el segmento FH verifica que AP'/CP' = x/z.

Por tanto, P = P' y la diagonal AC pasa por el punto en que se cortan los segmentos EG y FH.

De igual manera puede verse que la diagonal BD pasa por el punto en que se cortan los segmentos EG y FH. Por tanto, los cuatro segmentos se cortan en un punto.

Puede verse también como un corolario del Teorema de Brianchon para hexágonos circunscritos a una cónica cualquiera, haciendo colapsar dos pares de puntos en dos vértices opuestos. Por tanto es cierto para cuadriláteros circunscritos a cualquier cónica. El punto P en que se cortan las diagonales podría llamarse entonces punto de Brianchon del cuadrilátero circunscriptible.

El centro de la circunferencia inscrita puede verse que está situado en la recta de Newton del cuadrilátero, que es la que pasa por los puntos medios de las diagonales, incluida la que une los puntos de intersección de los pares de lados opuestos, considerando el cuadrilátero completo. (Teorema de Newton).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 febrero 2017. Creado con GeoGebra