Conjugados ciclocevianos

Dado un punto P en el plano de un △ABC, que no se encuentre en los lados de △ABC ni en sus prolongaciones, sean P_A, P_B y P_C los puntos en que sus cevianas (las tres rectas que pasan por los vértices A, B y C y por el punto P) cortan al lado opuesto. Estos puntos determinan el triángulo ceviano del punto P y la circunferencia Ω circunscrita a este triángulo es la circunferencia cicloceviana de P. Sean Q_A, Q_B y Q_C los otros puntos en que Ω corta a los lados a, b y c respectivamente. Es una consecuencia inmediata del teorema de Ceva y de la potencia de un punto respecto a una circunferencia que las cevianas de estros tres puntos concurren:

Pot_Ω(A)=AP_B·AQ_B=AP_C·AQ_C
Pot_Ω(B)=BP_C·BQ_C=BP_A·BQ_A
Pot_Ω(C)=CP_A·CQ_A=CP_B·CQ_B

Multiplicando las tres igualdades y dejando las P a la izquierda y las Q a la derecha:

(AP_B/CP_B)(BP_C/AP_C)(CP_A/BP_A)=(AQ_C/BQ_C)(BQ_A/CQ_A)(CQ_B/AQ_B)

El lado izquierdo es igual a 1 por el teorema de Ceva, ya que los tres segmentos concurren en P. Pero entonces el lado derecho también es 1, y por el recíproco del teorema de Ceva deben concurrir los tres en un punto, que hemos llamado Q y es el conjugado cicloceviano del punto P. Nótese que P y Q comparten enonces la misma circunferencia cicloceviana Ω.

¿Cual es la circunferencia cicloceviana del baricentro G? ¿Y del ortocentro H? Entonces, ¿cuales son los conjugados ciclocevianos de G y H?

El punto de Gergonne Ge es el punto en que se cortan las cevianas de los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita. ¿Cuál es entonces la circunferencia cicloceviana de Ge? ¿Cuál sera pues su conjugado cicloceviano?

¿Y el de un punto perteneciente a un lado o su prolongación?

¿Hay otros puntos autoconjugados ciclocevianamente?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 2 diciembre 2020. Creado con GeoGebra