Razones trigonométricas de los ángulos de 12º y 24º

Pueden obtenerse geométricamente a partir de un pentágono regular, levantando en dos lados concurrentes triángulos isósceles de lado x, de manera que entre ellos delimiten un triángulo equilátero de lado x.

Los ángulos agudos de los triángulos isósceles miden (108º - 60º)/2 = 24º. Por otra parte, el ángulo que forman los lados próximos a la diagonal del pentágono con éste, son de 36º - 24º = 12º. La longitud de la diagonal, si el lado del pentágono es 1, es φ = (√5 + 1)/2, el número áureo.

El valor de x se determina fácilmente expresando cos12º y cos24º en función de x y utilizando la fórmula del coseno del ángulo doble. A partir de los valores de los cosenos, se obtienen los de los senos, mediante la fórmula fundamental de la trigonometría o, lo que viene a ser lo mismo, aplicando el Teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos adecuados.

Utilizando las relaciones entre las razones de ángulos complementarios, se obtiene los senos y cosenos de 78º y 66º.

Dividiendo seno entre coseno, se obtiene para las tangentes:

tg(12º) = (3√3 - √15 - √(50 - 22√5))/2

tg(24º) = (√(22√5 + 50) - √15 - 3√3)/2

En SenCos3.pdf pueden verse las razones de todos los ángulos múltiplos de 3º.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 7 septiembre 2025. Creado con GeoGebra