Triángulos entre cuadrados

Los triángulos delimitados por dos cuadrados con un vértice común tienen la misma área y la altura de cada uno de ellos es prolongación de la mediana del otro, referidas todas al vértice común.

Además el cuadrilátero que tiene como vértices los centros de los cuadrados y los puntos medios de los lados de los triángulos que no pertenecen a los cuadrados, también es un cuadrado.

Para verlo, basta completar los parlelogramos, marcando la casilla [Demostración], y girarlos 90º en torno a los centros de los cuadrados.

Para las alturas-medianas, el segmento GA se transforma en el DP perpendicular a él, que pasa por el centro I del paralelogramo superior, por lo que la altura del triángulo DGA está alineada con la mediana del DCE. Igualmente se razona con el segmento CE, que se transforma en el DN.

Para el cuadrado, tenemos que los puntos H e I son homólogos, por lo que los triángulos MHI y LHI son isósceles y rectángulos, y además comparten la hipotenusa HI, por lo que son las dos mitades de un cuadrado. Este es el Teorema de Finsler-Hadwiger. También puede verse como una consecuencia inmediata del Teorema de la semejanza ponderada, al ser sus vértices puntos medios de los segmentos que unen puntos homólogos de dos figuras semejantes, los dos cuadrados iniciales, y por tanto es semejante a ellos.

Si en lugar de cuadrados tenemos rectángulos semejantes, se conserva una de las dos propiedades, dependiendo de como se articulen en el punto D.

Si los lados correspondientes de ambos rectángulos son vecinos en D, lados de uno de los triángulos, los paralelogramos resultan semejantes, y una semejanza en espiral de centro L, ángulo -90° y razón la de los lados del rectángulo, lleva el paralelogramo inferior en el superior, y la altura de un triángulo sigue siendo la mediana del otro.

Si por el contrario, los lados correspondientes son opuestos en D, se sigue pudiendo aplicar el Teorema de la semejanza ponderada, y el cuadrilátero MHLI es un rectángulo semejando a los dos iniciales.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 27 septiembre 2016. Creado con GeoGebra