Triángulo parabólico

Se tiene un △ABC cualquiera y se trazan las tres parábolas tangentes a cada par de sus lados en los vértices. ¿Cuál es la fracción de área del triángulo ocupada por las siete regiones en que queda dividido?

Las parábolas están bien definidas, pues una cónica cualquiera se determina en general por 5 puntos o rectas tangentes; si se fija una excentricidad son en general necesarias y suficientes cuatro condiciones (excepciones son las circunferencias y las hipérbolas equiláteras, en las que tal número se reduce a tres). Y aquí se dan cuatro: cada parábola pasa por dos vértices y es tangente a dos lados.

Se trata de un problema claramente afín, pues en una transformación afín se conservan los cocientes de distancias entre puntos alineados, la razón simple, y como consecuencia de ello la alineación de puntos, y el paralelismo y concurrencia de rectas. En particular, las cónicas se transforman en cónicas del mismo tipo, con el mismo número de puntos impropios, por lo que la imagen de una parábola es una parábóla. Como por otras parte todos los triángulos son equivalentes bajo transformaciones afines, puede estudiarse el problemo en cualquier triángulo. Lo haremos en el triángulo equilátero, para aprovechar sus simetrías.

Explícitamente, la afinidad que transforma cualquier triángulo en equilátero puede considerarse compuesta de un deslizamiento paralelo a un lado, al que deja invariante, y que transforme el triángulo en isósceles, seguida de una contracción perpendicular a ese lado, que transforme al triángulo en equilátero. La primera no cambia el valor de ninguna área, por el principio de Cavallieri, y la segunda cambia todas las áreas en la misma proporción. Pulsar el botón [Ir a triáng. equil.] para efectuar esta transformación.

Sean D, E y F los tres puntos en que se cortan cada par de parábolas. Por simetría, se encuentran sobre las medianas de △ABC. Cada par de tangentes a cada una de estas parábolas en los puntos de corte, se cortan a su vez en los puntos G, H e I. Por simetría de rotación ternaria en torno al baricentro J y de reflexión en las medianas, estas seis tangentes delimitan un hexágono regular DIEGFH y una estrella de seis puntas C_a, C_b, A_b, A_c, B_c y B_a, inscrita en el △ABC. Estas tangentes son paralelas a las medianas y perpendiculares a los lados correspondientes, y cortan a los lados a 1/3 del vértice.

Como es bien sabido desde Arquímedes, el segmento parabólico, limitado por la parábola y una cuerda, tiene un área igual a los 2/3 de la del triángulo formado por la cuerda y las tangentes en sus extremos. Además, todas las cuerdas paralelas tienen sus puntos medios alineados en un eje secundario de la parábola, que la corta en el punto de contacto con la tangente paralela a dichas cuerdas. Y este punto de contacto es el punto medio entre el punto medio de la cuerda que limita al segmento y el punto en que se cortan las tangentes por sus extremos.

Por tanto, las parábolas pasan por los puntos medios de las medianas, que serán sus vértices, y el área que delimitan con el lado es 2/3 de la del △ABC.

Otra propiedad bien conocida de las parábolas es que las tangentes perpendiculares se cortan en la directriz y la cuerda que une los puntos de tangencia pasa por el foco. La parábola que pasa por A y B por ejemplo, tiene sus tangentes en E y B perpendiculares, así como en A y D. El foco debe encontrarse en AD y BE, que son medianas, y por lo tanto es el centro J del triángulo, coincidiendo con el de las otras dos parábolas. La directriz pasa por los puntos C_b y C_a en que se cortan perpendicularmente estas tangentes. La perpendicularidad y los cocientes de distancias no alineadas no son invariantes afines, por lo que todo lo referido a focos y directrices no es válido para triángulos no equiláteros.

Comparando los triángulos semejantes AGA_c y AJM_c, donde M_c es el punto medio del lado c, deducimos que AG = 2/3 AJ = 4/9 AM_a. G es el punto medio de AD por encontrarse en el eje secundario C_bE de la parábola f, tenemos que AD es 8/9 de la mediana y los punto D, E y F se encuentran a 1/9 de cada lado.

Llamando S₁ al área del 'triángulo' interior a las tres parábolas, S₂ a las áreas iguales de los 'triángulos' limitados internamente por dos parábolas y externamente por otra, y S₃ a las también iguales limitadas por dos parábolas y un lado del triángulo, tenemos que

S₁ + 3S₂ + 3S₃ = 1 (todo el triángulo)
S₁ + 2S₂ + S₃ = 2/3 (segmento parabólico limitado por un lado)
1/2 S₁ + 1/2 S₂ = (2/3)(8/9)(2/3)(1/2) = 16/81 (segmento parabólico limitado por una mediana)

⇒ S₁ = 5/27, S₂ = 17/81, S₃ = 5/81

Proporción de áreas respecto a la de △ABC,m que es válida para cualquier triángulo.

Pueden desplazarse los vértices A y B en cualquier momento, y C cuando el triángulo no es equilátero.

Cada parábola es la curva de Bezier de los tres vértices, dependiendo de que punto se tome como el intermedio.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 7 enero 2017. Creado con GeoGebra