Al triángulo de Morley por el lado

Las trisectricdes de un ángulo son el par de rectas que lo dividen en tres partes iguales. El triángulo formado por las intersecciones de las trisectrices adyacentes a cada lado de un triángulo △ABC cualquiera es equilátero. Es el Triángulo de Morley del △ABC.

Una forma de verlo es calcular uno de sus lados, aplicando el teorema del seno y del coseno.

Aquí se ha tomado ∠A = 3α, ∠B = 3β y ∠C = 3γ, de manera que se tiene que α + β + γ = 60°, y R es el radio de la circunferencia circunscrita al △ABC. Como la expresión obtenida para d es simétrica respecto de estos ángulos, los tres lados del triángulo son iguales y éste es equilátero.

Otra demostración puede verse en Triángulo de Morley.

En Cut the Knot Morley's Miracle pueden verse muchas otras.

Lo descubrió Frank Morley (1860 Suffolk, Inglaterra - 1937 Baltimore, USA) en 1899, siendo profesor de Matemáticas en el Haverford College (Pennsylvania, USA). Suele decirse que es el último gran teorema la Geometría del Triángulo en ser descubierto. Sin duda se debe a que la trisección de un ángulo no es un problema resoluble con regla y compás.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 mayo 2023. Creado con GeoGebra