Triángulo de Morley

Teorema de Morley: «Los tres puntos de intersección entre las trisectrices adyacentes de los ángulos de un triángulo cualquiera, forman un triángulo equilátero».

Para ver la demostración, mover hacia abajo el deslizador paso a paso. En ella se ha supuesto ∠A = 3α, ∠B = 3β y ∠C = 3γ, de manera que se tiene que α + β + γ = 60°.

Pueden desplazarse libremente los vértices A, B y C del triángulo.

En el paso 5 de la demostración puede observarse que el ángulo entre las rectas AB e YX es 2α - (α + β) = α - β. Igualmente, entre las rectas BC y ZY es β - γ, y entre CA y XZ es γ - α.

También puede demostrarse trigonometricamente con facilidad, haciendo uso del teorma del seno y del coseno, y de las fórmulas de adición de ángulos. Se puede ver así que el lado del triángulo de Morley es d = 8Rsen(α)sen(β)sen(γ), siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al △ABC.

En Cut the Knot Morley's Miracle pueden verse muchas otras.

Lo descubrió Frank Morley (1860 Suffolk, Inglaterra - 1937 Baltimore, USA) en 1904, aunque no publicó su demostración, siendo profesor de Matemáticas en el Haverford College (Pennsylvania, USA). Suele decirse que es el último gran teorema la Geometría del Triángulo en ser descubierto. Sin duda se debe a que la trisección de un ángulo no es un problema resoluble con regla y compás.

La demostración aqui presentada es una adaptación de la debida al matemático indio Mandyam Tondanur Naraniengar (1871-1940), en respuesta a un problema planteado en una revista.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 2 enero 2017. Creado con GeoGebra