Tres circunferencias y una recta mutuamente tangentes

Si se tienen dos circunferencias tangentes y una recta tangente exterior a ambas, se puede trazar otra circunferencia tangente a las tres de dos formas:

i) inscrita en el triángulo formado por la s dos circunferencias y la recta (punto de tangencia con la recta situado en el interior del intervalo determinado por los los de las otras dos)

ii) tangente externamente (punto de tangencia con la recta situado en el exterior del intervalo determinado por los de las otras dos)

Pueden desplazarse los puntos T₁, O₁ y T₂, más grandes y de color azul celeste. Al marcar la casilla «2ª solución» se desplaza T₂ para que se vea la nueva circunferencia. También pueden usarse las herramientas de zoom y desplazamiento de la Vista Gráfica de la barra superior, después de hacer clic en el panel izquierdo.

La construcción de las circunferencias solución puede hacerse:

i) calculando previamente sus radios y trazando circunferencias concéntricas y rectas paralelas a las dadas

ii) mediante una inversión de centro, por ejemplo T₁

iii) mediante intersección de parábolas con focos en los centros de las circunferencias y vértices en los puntos de tangencia con la recta

La relación entre la curvaturas, inversas de los radios, se obtiene elevando dos veces al cuadrado la relación entre los radios para eliminar las raíces. Se obtiene la misma en los dos casos.

En la relación entre la curvaturas, se puede incluir la de la recta, que es cero. Queda entonces un caso particular del Teorema de los círculos de Descartes para 4 circunferencias mutuamente tangentes (extendida por Soddy y Gosset para 5 esferas mutuamente tangentes en el espacio y para n + 2 hiperesferas en el espacio de n dimensiones). En ese caso, la circunferencia que engloba a las otras tres debe considerarse con curvatura negativa.

Si se modifica r₁, desplazando O₁, manteniendo la posición de T₁ y T₂, el radio r₂ cambia como se ve en la primera fórmula. La circunferencia c₃ varía, pero se mantiene tangente, aparte de a c₁ y c₂, a unas circunferencia que pasa por T₁ y T₂ y tiene de radio 5/8 de T₁T₂, con el centro al otro lado de la recta tangente. Activando la casilla «2ª solución«, puede verse como la circunferencia c₀ se mantiene igualmente tangente a una circunferencia simétrica de la anterior respecto de la recta tangente.

Se pueden seguir inscribiendo circunferencias tangentes a la recta y a dos de las ya trazadas. En «Circunferencias tangentes entre sí y a una recta» se estudian los casos en que la añadida es tangente a i) la primera y la última trazada; o ii) a las dos últimas trazadas.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 16 abril 2017. Creado con GeoGebra