Teorema de los Cículos de Descartes

Dados tres círculos mutuamente tangentes {ω₁, ω₂, ω₃}, siempre puede construise entre ellos otro ω₄, tangente a los tres. Igualmente, siempre puede construirse otro ω₀ tangente a los tres y que los contenga. Se dice que estos son tangentes interiormente a aquél. Descartes encontró una sencilla relación entre los radios r_i, que se expresa con mayor sencillez en función de las inversas de los radios, las curvaturas k_i=1/r_i.

El Teorema nos dice entonces que el cuadrado de la suma de las curvaturas es dos veces la suma de sus cuadrados. Las curvaturas deben considerarse negativas si la tangencia es interior, como en el caso del círculo ω₀.

Las tres expresiones de la primera línea son consecuencia de un lema previo: Relación entre cuerda y tangente en tres circunferencias tangentes.

El proceso se puede continuar indefinidamente, tomando tres de los círculos mutuamente tangentes, incluyendo o no al exterior, para obtener otros dos tangentes a los tres. Se obtienen así los llamados «Tamices de Apolonio», por Apolonio de Perga que resolvió el problema de hallar círculos tangentes a otros tres, aunque fue Leibnitz quien primero que los estudió.

Observese que:

k₄,₀ = k₁ + k₂ + k₃ ± 2√(k₁k₂ + k₂k₃ + k₃k₁)

De esta forma si k₁, k₂, k₃ son enteros, k₀∈ℤ ⇔ k₄∈ℤ. De este forma, si se tienen 4 círculos mutuamente tangentes de curvaturas enteras, con la debida escala, puede construirse a partir de ellas un conjunto de círculos tangentes cada uno a tres de los ya construidos, todos con curvatura entera. Es el caso de los «Tamices de Apolonio» enteros.

Hay una relación similar entre los centros de los círculos. Considerándolos como números complejos z_i, se tiene que:

(k₁z₁ + k₂z₂ + k₃z₃ + k₄z₄)² = 2(k₁²z₁² + k₂²z₂² + k₃²z₃² + k₄²z₄²)

z₄,₀ = (k₁z₁ + k₂z₂ + k₃z₃ ± 2√(k₁z₁k₂z₂ + k₂z₂k₃z₃ + k₃k₁z₁z₃))/k₄

La fórmula fue generalizada por Soddy para 5 esferas en el espacio, y por Gosset para para n+2 hiperesferas en el espacio de dimensión n:

(∑_i=1ⁿ⁺²k_i)² = n∑_i=1ⁿ⁺²k_i²

En cualquier número de dimensiones, la fórmula nos da una curvatura en función de las restantes mediante una ecuación de 2º grado. Los dos valores se corresponden con las dos hiperesferas tangentes, interior o exteriormente dependiendo del signo de la curvatura, a las demás.

Tomado de «Sacred Mathematics. Japanese Temple Geometry» de F. Hidetoshi y T. Rothman (pg. 289).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 21 noviembre 2023. Creado con GeoGebra