Tetraedros isósceles

Un tetraedro es isósceles si sus aristas opuestas son iguales. En ese caso las cuatro caras también son iguales. Las caras iguales son necesariamente triángulos acutángulos. Condiciones equivalentes son:

i) Las caras tengan el mismo perímetro

ii) Las caras tienen la misma área.

iii) Los ángulos de las caras en cada vértice suman 180°

iv) Las esferas inscrita y circunscrita al tetraedro tienen el mismo centro.

(Theorem of Bang. Isosceles Tetrahedra)

El desarrollo de un tetraedro isósceles se puede disponer como los cuatro triángulos determinados por los vértices y puntos medios de los lados de un triángulo semejante a las caras pero de lados dos veces mayores.

Desplazar los vértices del triángulo en el plano Oxy para ver como cambia el tetraedro, y que solo es posible si los triángulos son acutángulos.

El vértice superior del tetraedro queda directamente sobre el ortocentro del triángulo que forma el desarrollo. Pero no sobre el ortocentro del triángulo de la base, a menos que los triángulos sean equiláteros y el tetraedro entonces regular.

Por tanto: {Tetraedros isósceles} ∩ {Tetraedros ortocéntricos} ≡ {Tetraedros regulares}

Nota: Los tetraedros ortocéntricos son aquellos en que las cuatro rectas perpendiculares a las caras que pasan por los vértices, las alturas, se cortan en un punto: el ortocentro del tetraedro. En general, no lo hacen.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 10 diciembre 2019. Creado con GeoGebra