Teorema de Stengel

En el △ABC se consideran puntos D y E en los lados AC y BC respectivamente. Sea F el punto en que se cortan AE y BD. Si por los puntos C, F, D y E se trazan los segmentos g, h, d y e, paralelos entre si, hasta el lado c, se tiene que:

1/g + 1/h = 1/d + 1/e

Pueden desplazarse los puntos A, B, D, E y H.

Como caso límite, cuando a ∥ b, C se aleja infinitamente, el sumando 1/g se anula y se obtiene el 'teorema de las escaleras cruzadas':

1/h = 1/d + 1/e

Pulsar el botón [Forzar a ∥ b] para pasar a esta situación gradualmente. En este caso, el punto E queda inmovilizado, aunque podría ser cualquier punto de la recta paralela a AD que pasa por B.

El 'teorema de las escaleras cruzadas' se puede demostrar desde luego directamente, de forma similar, pero más sencilla, que el de Stengel. Se utiliza, y de ahí su nombre, en el conocido problema de las 'escaleras cruzadas en un callejón'.

En este problema a y d coinciden, así como b y e, siendo además perpendiculares a c. Pero el teorema es más general.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 enero 2017. Creado con GeoGebra