Teorema Japonés

Una triangulación de un polígono convexo de n lados es una división de este en n-2 triángulos cuyos lados son diagonales del polígono que no se intersecan. Pues bien, la suma de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos resultantes de la triangulación de un polígono inscriptible, es independiente de la triangulación realizada.

Abajo se presentan dos hexágonos inscritos iguales, en los que se han efectuada dos triangulaciones distintas. Como s4e ve, la suma de los radios es la misma para los dos. Se puede modificar el polígono, arrastrando los vértices del situado a la izquierda. Pero no deben cruzarse unos con otras, de manera que el polígono que determinan siga siendo convexo.

Este problema se encontraba en un "Sangaku", tablillas de madera cuidadosamente pintadas con problemas de geometría, que se colgaban en los templos japoneses en los siglos XVII a XIX.

Este resultado se demuestra fácilmente a partir del Teorema de Carnot , que dice que en un triángulo, la suma de distancias del circuncentro a los lados, con signo menos para los correspondientes a ángulos obtusos, es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Al sumar estas igualdades para todos los triángulos de una triangulación de un polígono circunscrito, las distancias del circuncentro común a las diagonales interiores se cancelan, quedando de un lado la suma de los radios de las circunferencias incritas y (n-2) veces el de la circunscrita, y del otro la suma S de distancias del circuncentro a los lados del polígono. La suma de los radios de las inscritas es entonces igual a la suma de distancias del crcuncentro a los lados del polígono, menos (n-2) veces el radio de la circunferencia circunscrita, independientes ambas cosas de la triangulación realizada.

El nº de triangulaciomes de un polígono de n lados es Cat(n-2), el número n-2 de Catalan, donde Cat(n) = Comb(2n, n)/(n + 1). Para los polígonos de 3, 4, 5, 6, ... se tienen entonces

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, ...

triangulaciones posibles

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 agosto 2013. Creado con GeoGebra