Teorema de Carnot

La suma de distancias del circuncentro a los tres lados de un triángulo, con signo menos para el caso de un lado opuesto a un ángulo obtuso, es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Para demostrarlo, se aplica el Teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros AWOV, BUOW y CVOU, que son inscriptibles pues los ángulos en U, V y W son rectos. Por claridad, solo se muestra una de las circunferencias circunscritas a estos cuadriláteros, inicialmente la del AWOV.

De forma equivalente, la suma de los cosenos de los ángulos es igual a uno más el cociente entre el radio de la circunferencia inscrita y circunscrita. Por tanto, 1 < cosα + cosβ + cosγ ≤ 3/2. Es 3/2 para el triángulo equilátero.

Si el triángulo es obtusángulo, en C por ejemplo, su área es:

S(ABC) = S(OBC) + S(OCA) - S(OAB) ⇒ 2S = au + bv - cw

Al mismo tiempo, al aplicar el Teorema de Ptolomeo:

AOWV → bw + aR = cv → aR = cv - bw

BOWU → aw + bR = cu → bR = cu - aw

CVOU → bu + av = cR → cR = bu + cw

⇒ 2S + (a + b + c)R = (a + b + c)(u + v - w) = (a + b + c)r + (a + b + c)R = (a + b + c)(u + v - w)

  ⇒    r + R = u + v - w

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 agosto 2013. Creado con GeoGebra