Triángulo de Tartaglia-Pascal

El triángulo de Tartaglia Pascal fue estudiado por Niccolò Fontana, conocido como Tartaglia (1501-1557), y popularizado por Blaise Pascal (1623-1662), aunque ya se conocía desde siglos atrás en China y Persia. En el cada fila empieza y termina en 1 y los elementos intermedios son la suma de los que tienen arriba a izquierda y derecha. Si n es el número de la fila, empezando por 0 para el 1 del vértice, y k es la posición dentro de la fila, suele representarse como (n|k), con la n sobre la k y sin la barra de separación.

Para escribirlos en una línea de texto también se usa C(n, k) o Comb(n, k), porque los elementos de la fila n-sima son los coeficientes del desarrollo de (a+b)ⁿ según la fórmula del binomio de Newton, llamados por ello coeficientes binomiales. También dan el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k, el número de subconjuntos distintos de k elementos que pueden de un conjunto con n elementos 0≤k≤n, por lo que también se denominan números combinatorios. Su valor es C(n, k)=n!/(k!(n-k)!).

Mover el deslizador m, o animarlo con el botón inferior izquierdo, para mostrar las m primeras filas del triángulo. Con la animación parada, mediante los botones de flechas puede desplazarse el rectángulo rojo para destacar los distintos números combinatorios. Cuando el número destacado es interior al triángulo, se muestra una propiedad no muy conocida: si se multiplican alternadamente tres de los seis números que lo rodean de las dos formas posibles, se obtiene el mismo número. Se demuestra con facilidad expresando C(n, k) en función de los factoriales.

En el triángulo de Tartaglia hay infinitos 1 en las diagonales exteriores. El 2 aparece una sola vez, en la posición central de la fila 2. En la fila n, n > 2, aparece el número n dos veces, como C(n, 1) y C(n, n-1). Dada la simetría del triángulo, cualquier número que aparezca en otra posición, lo hace al menos tres veces si esta en el centro de una fila, es decir, si es de la forma C(2n, n), o al menos cuatro veces en caso contrario. Estas son las repeticiones triviales. En el documento «Repeticiones no triviales en el triángulo de Tartaglia» puede verse lo que se conoce actualmente sobre otras repeticiones.

Contiene númerosas sucesiones importantes en Teoría de Números y Combinatoria. Aparte de los números naturales en las diagonales inmediatas a los unos, contiene a la sucesión de los números triángulares (suma de los naturales de 1 a n) en las siguientes diagonales, de los números tetrédricos en las siguientes, ...

De forma menos explícita aparecen los números de Fibonacci como sumas de las diagonales de pendiente ½, y los importantes números de Catalan como diferencia de los terminos centrales de las filas pares y uno de sus vecinos: Cat(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1).

En puede verse como obtener directamente la fila enésima sin necesidad de conocer las anteriores.

Ignacio Larrosa Cañestro (grupo XeoDin), 29 julio 2021. Creado con GeoGebra