El punto de Spieker y las circunferencias de Jenkins

El punto de Spieker del △ABC es el incentro de su triángulo medial △A'B'C', formado por los puntos medios de sus lados.

Es el centro de gravedad del perímetro del triángulo. Para verlo, basta suponer que las masas de cada lado, proporcionales a su longitud, están concentradas en los puntos medios respectivos A', B' y C'. Los lados de △A'B'C' tienen una longitud igual a la mitad que los correspondientes lados de △ABC. Sea A'' el centro de gravedad de los lados b y c, cuyas masas suponemos concentradas en B' y C'. A'' dividirá al segmento B'C' de forma inversamente proporcional a b y c, pues debe ser:

b·B'A'' = c·C'A'' ⇒ B'A''/C'A'' = c/b = (c/2)/(b/2)

Pero por el teorema de la bisectriz esto implica que A'' se encuentra en la bisectriz del ∠B'A'C'. Por tanto el centro de gravedad se encuentra en la bisectriz A'A'' del triángulo medial. Pero podíamos haber empezado por cualquier otro par de lados, por lo que el centro de gravedad debe hallarse en las tres bisectrices de △A'B'C' y es por tanto su incentro. Recuérdese que el centro de gravedad de los tres vértices, o de toda el área del triángulo, es el baricentro.

El punto de Spieker también es el centro radical de las tres circunferencias exinscritas a △ABC. En efecto, C' es el punto medio del lado AB, y los segmentos AK y BJ son iguales alsemiperímetro de △ABC, por lo que C' también es el punto medio de la tangente JK común de las circunferencias c_B y c_A, por lo que pertenece a su eje radical. Además C'Sp es la bisectriz de ∠B'C'A', paralela a la de ∠BCA, puesto que los lados de estos ángulos son paralelos, y perpendicular a la bisectriz exterior I_BCI_A, que une los centros de c_B y c_A. Por tanto C'Sp es el eje radical de c_B y c_A. Otro tanto ocurre con las otras bisectrices del triángulo medial y Sp es el centro radical.

Sp tiene entonces la misma potencia k² respecto de las tres circunferencias exinscritas. La inversión de centro Sp y potencia k² las deja invariantes y transforma r_c, la recta que contiene al lado c, en una circunferencia que pasa por Sp, es tangente interiormente a la circunferencia c_C y exteriormente a c_B y c_A. Lo mismo ocure con las otras dos. Se trata de las tres circunferencias de Jenkins de △ABC, tangentes interiormente a una circunferencia exinscrita y exteriormente a las otras dos, y que concurren en el punto de Spieker.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 diciembre 2016. Creado con GeoGebra