Las simedianas y el triángulo Órtico

El triángulo órtico, △DEF en la figura, de un △ABC es el que tiene por vértices los pies de las alturas del △ABC. Entre otras propiedades, delimita con el △ABC tres triángulos semejantes a este: △AFE, △BDF y △CED.

La semejanza puede considerarse el producto de una simetría respecto a la bisectriz y una homotecia respecto al vértice común. En el caso del △CED, se corresponden la mediana con la simediana del vértice C, y el punto medio M_c del lado c es el punto medio C' del lado ED del triángulo órtico. Lo mismo puede decirse para los otros dos triángulos. Por tanto:

     Las simedianas bisecan los lados del triángulo órtico

Por el mismo razonamiento, bisecan a todos los demás segmentos antiparalelos al lado correspondiente (cuyos extremos son concíclicos con los vértices del lado), puesto que las medianas bisecan a los segmentos paralelos.

Si el triángulo es rectángulo,

¿Qué le ocurre al triángulo órtico?

¿Que posición precisa ocupa entonces el punto de Lemoine?

¿Como son la altura y la mediana correspondientes a la hipotenusa en cualquier triángulo rectángulo?

Puedes desplazar el vértice C hasta situarlo en la semicircunferencia verde, que tiene a AB como diámetro. Por ejemplo en el punto situado 2 unidades a la derecha y 4 arriba del punto A. O también puedes hacer clic en el botón [Forzar triángulo rectángulo].

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 noviembre 2016. Creado con GeoGebra