Rombicuboctaedro - Falso rombicuboctaedro
El Rombicuboctaedro, o Pequeño rombicuboctaedro u Ortobicúpula cuadrada elongada, es un sólido arquimediano formado por 18 caras cuadradas y 8 triangulares, correspondiendo las primeras a las caras y aristas del cubo que lo circunscribe, y las segundas a los vértices. Puede obtenerse a partir de este cubo truncando los vértices y biselando las aristas. Como poliedro arquimediano, todas las caras son regulares y con la misma arista.
Tiene (18·4+8·3)/2 = 48 aristas y (18·4+8·3)/4 = 24 vértices tetravalentes, en los que concurren tres cuadrados y un triángulo.
Para calcular su volumen, basta restar del volumen del cubo el de 8 tetraedros regulares P, cuyas bases son las caras triangulares, y cuyos vértices son los del cubo, y 12 cuñas C, de base las caras cuadradas que se corresponden con las aristas del cubo circunscrito, y cuya arista superior es la de este.
La arista del cubo circunscrito es 1+√2 veces la del rombicuboctaedro.
La altura de los tetraedros se halla mediante el Teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta que las alturas del tetraedro inciden en la cara opuesta sobre sus alturas, a ⅓ de los lados.
El volumen de la cuña se calcula como:
[C]=(b(2a+c))/6 · h
donde c es la arista superior, a y b son los lados del rectángulo base (a paralelo a c), y h es la altura de la cuña.
También puede obtenerse truncando un Rombododecaedro, de manera que los vértices trivalentes den origen a triángulos equiláteros y los tetravalentes a cuadrados iguales a lo que resta de las caras rómbicas.
O de un Cuboctaedro, truncándolo por los puntos medios de sus aristas (rectificándolo).
No tiene esfera inscrita a estar sus caras cuadradas y triangulares a distintas distancias del centro, pero si esferas inscrita y tangencial (tangente a las aristas), de radios R y ρ respectivamente, que se calculan de forma inmediata por aplicación del teorema de Pitágoras:
R = √((½)² + (½)² + ((1+√2)/2)²) = √(5 + 2√2)/2 ≃ 1.398966325
ρ = √((½)² + ((1+√2)/2)²) = √(4 + 2√2)/2 ≃ 1.306562964
El rombicuboctaedro tienen un 'hermano mellizo', el Falso rombicuboctaedro o Girobicúpula cuadrada elongada:
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Hay cierta polémica sobre si debe considerarse o no como el 14º sólido arquimediano. Los sólidos arquimedianos son los formados por caras poligonales regulares de dos o más tipos con todos los vértices idénticos local/globalmente. En ambas figuras, todos los vértices son idénticos localmente, en ellos concurren 3 cuadrados y un triángulo. Podemos reemplazar el conjunto de cada vértice y sus cuatro caras concurrentes por cualquier otro. Pero no lo son globalmente, pues en el falso rombicuboctaedro no se puede mediante giros y simetrías llevar un vértice a cualquier otro, dejando el poliedro globalmente inmodificado. Hay dos tipos de vértices: los 16 que forman parte del anillo central de cuadrados y los 8 de los dos cuadrados que no colindan con este anillo. La tenedencia mayoritaria parece ser considerar que todos los vértices deben ser globalmente permutables, por lo que el falso rombicuboctaedro estaría 'expulsado' de la familia de poliedros arquimedianos, formando parte de los Sólidos de Johnson (J37).
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Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 22 junio 2022. Creado con GeoGebra
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