Rectángulos en una escalera

¿Cuantos rectángulos pueden formarse con puntos de una retícula cuadrada contenidos en un polígono con forma de 'escalera' y lados paralelos a la retícula?

Por 'escalera<7i>' se entiende un políigono formado por un par de lados perpendiculares y de igual longitud, unidos por una escalera de n peldaños iguales.

La forma más sencilla de verlo es situar la escalera bajo recta y = x - 1 y sobre el eje Ox, o por encima de la recta y = x +1 y apoyada en el eje Oy, y darse cuenta que las coorcdenadas a, b, c y d que definen completamente los cuatro vértices de cualquier rectángulo tienen que ser así números distintos comprendidos entre 0 y n+2. Hay por tanto Comb(n+3, 4) = (n+3)(n+2)(n+2)n/24 posibilidades (OEIS A000332).

Es curioso que coincida con el nº de triángulos que pueden situarse en una malla triangular de puntos de lado n (n+1 puntos por lado), con cualquier orientación. También el nº de intersecciones de las diagonales de un polígono convexo con n+2 lados, o el número de tetraedros regulares en una malla tetraédrica con la misma orientación. ¿Será posible estableces una biyección entre estos objetos?

La solución es de los rumanos Teofil Bogdan y Mircea Dan Rus (Counting the Lattice Rectangles ...)

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 8 marzo 2023. Creado con GeoGebra

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