Diagonales en un polígono convexo no regular

Se da el número máximo de puntos de intersección, segmentos, regiones sin solapamiento y triángulos que determinan las diagonales de un polígono convexo de n vértices. Este número máximo se produce cuando no hay tres diagonales que concurran en un mismo punto distinto de los vértices. Esto suele denominarse como puntos en "posición general".

Para aumentar el número de vértices, arrastra los puntos fuera del cuadrante de la esquina inferior derecha, hasta un máximo de 26. Solo se tienen en cuenta como vértices los puntos que delimitan un polígono convexo (el "cierre convexo" del conjunto de puntos). Por ello, probablemete sea necesario desplazar algunos de los puntos preexistentes para aumentar de forma efectiva el número de vértices.

Y al contrario, para disminuir el número de vértices, mueve alguno al interior de los demás o, mejor, arrastralo a la esquina inferior izquierda.

Si el número de puntos es n,

Nº diagonales: Comb(n, 2) - n
Una por cada par de puntos, menos los n lados.

Nº puntos intersección: Comb(n, 4)
Cada cuatro puntos forman un cuadrilátero convexo, cuyas diagonales se cortan en 1 punto.

Nº de regiones: Comb(n, 4) + Comb(n, 2) - n + 1
Por la fórmula de Euler para un grafo en el plano: c + v = a + 1. Un grafo en el plano es como un poliedro del que se ha retirado una cara y se deforma el resto con continuidad hasta aplanarlo. Como se ha retirado una cara, hay que sumar 1 y no 2, como en la fórmula correspondiente para poliedros, c + v = a + 2.

Nº de triángulos: Comb(n, 3) + 4·Comb(n, 4) + 5·Comb(n, 5) + Comb(n, 6)
Según el número de vertices por los que pasen las rectas que contiene a sus lado:

3 vértices => los tres vértices determinan un solo triángulo

4 vértices => los cuatro puntos forman un cuadrilátero convexo, dividido en 4 triángulos por sus diagonales. Cuatro posibilidades para cada subconjunto.

5 vértices => un vérice lo es del triángulo, los otros dos son las dos intersecciones de la diagonal que une sus vecinos a izquierda y derecha, dentro del subconjunto de 5, con las diagonales que lo unen con los otros dos. Cinco posibilidades por cada subconjunto.

6 vértices => determinan tres diagonales, que para que se corten en el interior del polígono pueden ser únicamente las que unen cada punto con su opuesto, dentro del subconjunto de 6. Una sola posibilidad por cada subconjunto.

Con los deslizadores d1, d2 y d3 se pueden resaltar los distintos lados/diagonales, lo que permite visualizar estos cuatro tipos de triángulos, aunque no cualquier terna de diagonales determina un triángulo.

Los vértices del polígono se ordenan a partir del inferior en sentido contrario a las agujas del reloj. Y las diagonales, por el orden de sus extremos. Los puntos de intersección recorren las diagonales en este orden.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 7 junio 2016. Creado con GeoGebra