Punto de silla que es mínimo en todas direcciones

La función f(x, y) = 3x⁴ - 4x²y + y² tienen un único punto crítico en (0, 0). En él, el criterio del hessiano no decide, pues f_x(0, 0) = H_f(0,0) = 0.

Restringiendo la función a las rectas y = mx, se obtiene g(x) = f(x, mx) = 3x⁴ - 4mx³ + m²x², que tienen un mínimo relativo en x = 0, aunque para valores de x próximos a 0, pero x≠0, pudiera parecer que no a simple vista.

En cambio, si se restringe la función a las parábolas y = kx², se obtiene g(x) = f(x, kx²) = (k-1)(k-3)x⁴, que tiene un mínimo relativo para k < - 1 o k > 3, y un máximo relativo para k en (1, 3). Para k = 1 o k = 3 es idénticamente 0.

Marcar una sola de las casillas de verificación y modificar el parámetro para comprobarlo.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 9 junio 2017. Creado con GeoGebra