Extremos de funciones de dos variables. Criterio del hessiano

Se representa en el panel izquierdo la gráfica de una función de dos variables z = f(x, y) que se especifica en el campo de entrada 'f(x, y) =' del panel inferior y se determina mediante el Criterio de la matriz Hessiana el carácter de sus puntos críticos. Se supone que f es diferenciable y que existen y son continuas sus segundas derivadas parciales. Entonces, por el Teorema de Schwartz, las derivas segundas cruzadas son iguales: f_xy = f_yx.

Los puntos críticos son aquellos en que se anulan las dos derivadas paraciales de f: f_x(x, y) = 0, f_y(x, y) = 0. En el panel derecho, se representan estas dos curvas en al plano Oxy, así como sus intersecciones, que serán las proyecciones de los puntos críticos en dicho plano. Lamentablemente no siempre se detectan de forma automática todos los puntos críticos. Por ello también se representa un punto P desplazable, en este panel, con el ratón y las teclas de dirección, con el que se puede comprobar el carácter de cualquier otro punto. El punto P también se puede especificar por sus coordenadas en el campo entrada 'P =' del panel inferior. Las coordenadas de P se pueden introducir de forma simbólica como (1/2, sqrt(2)/2), por ejemplo.En el panel izquierdo aparecen también los puntos en la gráfica de la función correspondientes a los puntos críticos y a P.

La función H_f(x, y) es el determinante de la matriz Hessiana de f(x, y):

H_f(x,y) = |f_xx, f_xy; f_yx, f_yy| = f_xx·f_yy - (f_xy)²

El criterio de la matriz Hessiana establece que si P = (x, y) es un punto crítico y

· H_f(P) > 0 y f_xx(P) > 0 ⇒ P es un mínimo relativo
· H_f(P) > 0 y f_xx(P) < 0 ⇒ P es un máximo relativo
· H_f(P) < 0 ⇒ P es un punto de silla

Si H_f(P) = 0 el criterio no decide y es necesario utilizar derivadas de ordenes superiores.

Nota: f_xx(P)= 0 ⇒ H_f(P) = - (f_xy)² ≤ 0

En el panel inferior se presentan las derivadas primeras y la matriz hessiana así como su determinante, y una tabla con los puntos críticos detectados automáticamente, en la que se incluyen los valores relevantes de las derivadas parciales y del hessiano. Fuera de la tabla se presentan también estos valores para el punto P.

El punto P, después de seleccionarlo en el panel derecho, se puede desplazar con las teclas de dirección en incrementos de 0.01. La pulsación simultánea de las teclas [Mayús], [Ctrl] y [Alt] multiplica este incremento por 0.1, 10 y 100 respectivamente.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 7 abril 2017. Creado con GeoGebra