Probabilidad que la parte entera del cociente de coordenadas en un cuadrado unitario sea múltiplo de a

Se generan aleatoriamente puntos dentro de un cuadrado de lado 1, con distribución uniforme. Los puntos para los que ⌊y/x⌋ ≡ 0 (mod a) se presentan de color azul.

Como

⌊y/x⌋ = k ⇔ k ≤ y/x < k+1 ⇔ kx ≤ y < (k+1)x

Estos puntos están situados entre las rectas y = kx e y =(k+1)x, y dentro del cuadrado [0, 1]×[0,1]. Para k > 1 este recinto es el triángulo de vértices {(0, 0), (1/k, 1), (1/(k+1), 1)} y para k = 0 el triángulo {(0, 0), (1, 0), 1, 1)}. Por tanto, la probabilidad de que la parte entera del cociente sea múltiplo de a es:

P(a) = ½ + ½∑_{k=1}^{∞} (1/(ak) - 1/(ak + 1)) = ½ + 1/(2a)(ψ(1+1/a) + γ)

donde ψ(z)=(Γ´(z))/(Γ(z)) es la función digamma, Γ(z) es la función Gamma de Euler, y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Para a = 2 y 3, los valores teóricos exactos son:

P(2) = 1 - ½ ln2 ≅ 0.653426
P(3) = 1- ln3/4 - √3π/36 ≅ 0.574197

Cuando a → ∞, evidentemente P(a) → ½

Puede verse con más detalle en Probabilidad que la parte entera del cociente de coordenadas en un cuadrado unitario sea múltiplo de a

Pulsando el botón [Renovar puntos], se obtiene una nueva serie de puntos. Las 10 últimas frecuencias se almacenan en las celdas B2 a B11. En la celda B13 se tiene la media de estos 10 últimos valores, que debe ser una mejor aproximación de la probabildad, y en la B14 su desviación típica.

Después de utilizar la [Animación], la desviación típica no es representativa, pues los 10 últimos valores de la frecuencia serán muy parecidos. Es necesario pulsar el botón [10 series nuevas de puntos], para generar 10 nuevas series de puntos, anotándose los 10 nuevos valores independientes de la frecuencia en las celdas B2 a B11, y recalculándose la media y desviación típica. Repite el proceso 10 veces, anotando los valores de las medias en las celdas C2 a C11 y copia el contenido del bloque B13:B14 en C13:C14. Observa como la desviación típica de estas medias es sensiblemente inferior a la desviación tipica de una sola serie de 10 valores.

Después de cambiar el valor de a, es necesario renovar los puntos, mejor con el botón [10 series nuevas de puntos].

Hecho a partir de un reto propuesto en el grupo de telegram Retos Matemáticos (25/06/2024).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 24 junio 2024. Creado con GeoGebra