Perpendicular a la hipotenusa por el incentro

La perpendicular a la hipotenusa por el incentro biseca al segmento determinado por los pies de las bisectrices de los ángulos agudos.

Demostración 1:La suma de los ángulos A y B del triángulo ABC es de 90º, por lo que en el triángulo IAB los ángulos con vértices en A y B suman 45º. Por tanto, los ángulos BIE y AID son de 45º, y pueden construirse sendos cuadrados de lados IE e ID con la bisectriz respectiva como diagonal, lo que implica que los puntos E' y D', simétricos de E y D respecto a cada bisectriz, se hallan sobre el lado AB.

Los triángulos IDE y ID'E' estan limitados entonces por dos cuadrados con un vértice común, y es un resultado conocido que tienen la misma área y la altura de uno de ellos coincide con la mediana del otro, referidas al vértice común I, lo que hace de P el punto medio del segmento DE. Ambos triángulos son la mitad de paralelogramos congruentes, que se obtinen uno de otro girándolos 90º, en un sentido o en otro, respecto del centro de uno u otro cuadrado.

La demostración 2 es de fatih saǧlam (@delireis_1453).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 septiembre 2016. Creado con GeoGebra