Lugar geométrico de puntos equidistantes de un cuadrado y un punto interior

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un cuadrado y de un punto P interior a él tiene dos aspectos:

1. Si P está situado en el interior de la circunferencia inscrita en el cuadrado, el lugar esta formado por cuatro arcos de parabólicos, con foco en el centro y directriz el lado más próximo, limitados por las diagonales del cuadrado.

2. Si P está en el exterior de la circunferencia inscrita, el lugar esta formado sólo por dos arcos parabólicos con foco en el centro y directriz el lado más próximo, limitados por la diagonal correspondiente al vértice más próximo

Si el punto P está en el centro del cuadrado, los cuatro arcos parabólicos son iguales. Estas parábolas tienen al centro del cuadrado como foco y a cada uno de los cuatro lados como directrices. Si el cuadrado tiene lado 2, como en la figura inferior, el parámetro de estas parábolas, distancia del foco a la directriz, es igual a 1. Sus ecuaciones son, con el origen de coordenados en el centro del cuadrado y ejes paralelos a suslados, empezando por la superior y en sentido contrario a las agujas del reloj, son: x²=-2y+1, y²=-2x+1, x²=2y+1 e y²=2x+1, con centros respectivamente en (0, ½), (-½, 0), (0, -½) y (½,0). Los límites de los arcos parabólicos se calculan fácilmente, pues se producen en las diagonales, y el área, dada la simetría, puede calcularse como ocho veces el área comprendida entre el arco superior y el lado del cuadrado determinado por sus extremos para x > 0, más el áres de este cuadrado, de lado 2(√2 - 1). Como se, este área es de poco más de ⅕ de la del cuadrado. La probabilidad de que un punto cualquiera del cuadrado esté más cerca del centro que de los lados se obtiene entonces dividiendo este área por la del cuadrado, que es 4.

El correspondiente lugar geométrico para el caso de que el punto P sea exterior al cuadrado, se estudia aquí: Lugar geométrico de puntos equidistantes de un cuadrado y un punto exterior.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 16 mayo 2024. Creado con GeoGebra