Lugar geométrico de puntos equidistantes de un cuadrado y un punto exterior

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un cuadrado y de un punto P exterior a él tiene dos aspectos;

1. Si P está situado en la banda infinita limitada por un lado del cuadrado y sus dos perpendiculares en los extremos, incluyéndolas, el lugar esta formado por el arco de parábola (rojo) con foco en P y directriz el lado, comprendido entre las perpendiculares, y por las dos semirectas (magenta) exteriores a la banda de las mediatrices de P y los puntos vértices visibles desde P. Estas mediatrices son tangentes a la parábola en los puntos en que corta a las perpendiculares que limitan la banda, de manera que el lugar no solo es continuo, sino suave, sin puntos angulosos.

2. Si P está en uno de los ángulos limitado por las prolongaciones de dos lados consecutivos, el lugar está formado por dos arcos parabólicos (rojo) y dos semirrectas (magenta) correspondientes a los lados visibles desde P, más el segmento (naranja) comprendido en el ángulo de la mediatriz del punto P y el vértice más próximo. Como en el caso anterior, la curva es continua y suave.

Se muestran con trazo discontinuo y del mismo color las parábolas y rectas en las que se incluyen las distintas partes del lugar en cada caso.

Todo esto es extensible a cualquier polígono convexo.

Si P está en el perímetro del cuadrado, el lugar se reduce al propio punto. Si es interior, está formado por cuatro arcos de parábola con el punto como foco y cada lado como directriz. La curva del lugar sigue siendo continua, pero ahora presentará cuatro vértices en los puntos de unión de los arcos parabólicos. Puede verse en: Lugar geométrico de puntos equidistantes de un cuadrado y un punto interior.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 10 mayo 2024. Creado con GeoGebra