Lemniscata de n focos

Una lemniscata de n focos es el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a los focos es constante. La lemniscata de Bernouilli es una lemniscata de dos focos que pasa por el punto medio de estos, de manera que si la distancia entre los focos es 2a, el producto constante es a². Las otras lemniscatas de dos focos son óvalos de Cassini.

Aquí se construye la curva y se halla su ecuación utilizando el comando de GeoGebra EcuaciónLugar[ <Expresión lógica> , <Punto libre> ], donde la <Expresión lógica> es la condición que debe cumplir el <Punto libre> para pertenecer al lugar. En este caso que el producto de distancias a los focos, nombrados con la misma letra que estos, pero minúscula, sea una constante.

Pueden añadirse o suprimirse focos con los botones correspondientes, pero esto solo tiene efecto en la visualización de los mismos y de los segmentos que los unen con un punto del lugar. Para modificar la lemniscata w debe editarse la expresión, eliminando o añadiendo las distancias correspondientes en la caja de entrada de w y pulsar [Entrar]. Deben ponerse los nombres separados de los existentes por un espacio o bien por un símbolo de producto.

El punto W que se utiliza para definir el lugar no es el así rotulado en la figura, como tampoco las distancias. El nombre real de estos objetos visibles lleva una ', pero los que deben emplearse en la caja de entrada son los reales, que permanecen ocultos, y que no llevan '.

En la línea de entrada pueden crearse otras lemniscatas con el mismo comando, para comparación. Mejor sin darles explícitamente un nombre.

El punto V es un punto libre que puede utilizarse como 'sonda' para ver, en el texto que lo acompaña, el producto de sus distancias a los focos visibles. El texto situado bajo los botones informa igualmente de las distancias de los posibles focos visibles a un punto de la lemniscata dibujada. Pero la lemniscata solo se modifica al editar su ecuación en la caja de entrada. Conviene evitar valores con decimales para la constante, pues se disparan los valores de los coeficientes de la ecuación e incluso puede quedar el lugar indefinido.

La ecuación de la lemniscata con n focos es de la forma

w: Product((x-x_i)² + (y-y_i)², i, 1, n) = cte

Por tanto, el primer miembro es un polinomio de grado 2n en dos variables, que puede tener hasta (n+1)(2n+1)
La forma de la lemniscata puede ser de lo más variado, utilizando suficiente número de focos. De hecho, cualquier curva cerrada simple se puede aproximar por todo lo que se quiera mediante una lemniscata, escogiendo adecuadamente el número y posición de los focos y el producto de distancias (A. Markushévich. Lecciones populares de matemáticas: Curvas Maravillosas. Editorial MIR, 1977).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 21 enero 2017. Creado con GeoGebra