Icosidodecaedro

El Icosidodecaedro es un sólido arquimediano, resultado de truncar un dodecaedro o un icosaedro por el punto medio de sus aristas. Resultan 12 caras pentagonales procedentes de las caras del dodecaedro o de los vértices del icosaedro, y 20 triángulares procedentes de los vértices del dodecaedro o de las caras del icosaedro, todas de arista φ/2=(√5+1)/4 de las del dodecaedro, o ½ de las del icosaedro. Tiene por tanto, 32 caras, 60 aristas y 30 vértices tetravalentes, en los que concurren dos pentágonos y dos triángulos alternados.

No tiene esfera inscrita, pues las caras no están a la misma distancia del centro, pero si circunscrita y tangente a las aristas o tangencial. La esfera circunscrita es la misma que la tangencial del dodecaedro o icosaedro del que procede.

Las 60 aristas se distribuyen en 6 decágonos regulares, situados en planos de simetría del icosidodecaedro. Cada una de las mitades en que estos planos lo dividen, constituyen una Rotonda pentagonal, el sólido de Johnson J6.

El volumen del icosidodecaedro V_Id, tomando su arista igual a 1, se calcula fácilmente a partir del volumen del dodecaedro sin truncar, √5(7+3√5)/4 d³, donde d=2/φ=√5-1, menos 20 pirámides triangulares, cada una de las cuales tiene como base un triángulo equilátero de lado 1 y aristas laterales iguales a 1/φ=(√5-1)/2, y cuya altura se calcula fácilmente por el Teorema de Pitágoras.

El radio R de la esfera circunscrita, igual que el radio tangencial ρ del dodecaedro de procedencia de arista 2/φ y al radio del decágono que constituye una sección diametral, es R = ½/sen(18º) = φ.

El radio ρ de la esfera tangencial es la apotema del decágono diametral, ρ= ½/tan(18º).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 23 octubre 2022. Creado con GeoGebra