Dodecaedro regular
Se trata de un sólido platónico, poliedro regular convexo, con 12 caras pentágonos regulares, que concurren 3 en cada uno de sus 20 vértices, unidos por 30 aristas. Es el dual del icosaedro.
Tiene 6 ejes de simetría pentagonal, pasando por los centros de caras opuestas, 10 ejes trigonales que pasan por los vértices opuestos, y 15 ejes digonales que pasan por los centros de cada par de aristas opuestas.
Igualmente tiene 15 planos de simetría que contienen a un para de aristas opuestas.
Para calcular su volumen se puede calcular el de las pirámides que tienen vértice en su centro y base cada una de sus caras. Para hallar la altura de estas pirámides, radio r de la esfera inscrita, se toma una sección por el plano medio de dos caras opuestas, que corta a 10 aristas en su punto medio, formando un decágono regular. El radio ρ de este decágono, es el radio de la esfera tangente a las aristas del dodecaedro.
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Alternativamente, el dodecaedro se puede descomponer en un cubo de lado la diagonal de los pentágonos, de longitud φa, y seis cuñas (como tejados a 4 aguas), cuyo volumen se calcula fácilmente mediante la fórmula del Prismatoide, una vez determinada su altura con el Teorema de Pitágoras. La sección por el plano medio entre dos vértices opuestos es un hexágono regular que pasa por los puntos medios de los lados no contiguos de seis pentágonos, y tiene un lado por tanto igual a ρ, el radio de la esfera tangente a las aristas.
Para colorearlo de manera que no halla caras adyacentes del mismo color, son precisos cuatro colores. Los cinco pentágonos que rodean a uno cualquiera deben ser de un color diferente a éste, y al ser un número impar y formar una cadena cerrada, necesitan al menos tres colores, pues el primero no puede tener el mismo color que el último.
¿Cuántos cubos pueden inscribirse en el dodecaedro?
¿Cuántas secciones hexagonales regulares tiene?
Que sección tiene mayor área, ¿la decagonal o la hexagonal?
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Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 diciembre 2021. Creado con GeoGebra
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