Hexágonos en una malla hexagonal

Dada una malla hexagonal regular de n puntos de lado, ¿cuántos hexágonos regulares pueden formarse con sus vértices en ella y con cualquier orientación?

Cada posible hexágono en la malla está inscrito en un hexágono 'marco' de igual orientación que la malla y con k puntos en cada lado, 2 ≤ k ≤ n.

¿Cuántos de estos marcos de lado k hay? Estudiando las posiciones que puede tomar su centro, vemos que se trata del número hexagonal centrado n - k + 1, HC_n-k+1 = 1 + 3(n - k + 1)(n - k).

En cada uno de estos marcos pueden inscribirse k - 1 hexágonos, incluido el mismo (los demás girados).

Entonces, el número total de hexágonos que pueden inscribir en la malla de n puntos de lado es la suma de los productos del número de marcos de lado k por (k - 1). Resulta ser simplemente T_n-1², el cuadrado de la suma de los números naturales de 1 a n-1.

La sucesión está en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences con el número A000537. A destacar el 10º comentario .... ";^)

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 4 marzo 2023. Creado con GeoGebra