φ, el número de oro en la función de 4º grado

Si la función de 4º grado f(x) tiene puntos de inflexión A y B, la recta r_In que pasa por ellos vuelve a cortar a la gráfica de la función en otros dos puntos C y D, que dejan a A y B en medio. Se tiene entonces que AB/CA = AB/BD = φ = 1.6180339887..., el conocido "número de oro" o "razón áurea".

La razón áurea es la que divide a un segmento de forma que "el total es a la parte mayor, como la parte mayor es a la menor".

Cambia los coeficientes del polinomio con los deslizadores. Lógicamente, cuando no hay puntos de inflexión, la construcción queda indefinida.

¿Cuanto vale el cociente CB/AB = AD/AB?

¿Y CD/AB?

¿La función podría tener un solo punto de inflexión? ¿Por qué?

¿Puedes razonar por qué si la función tiene dos puntos de inflexión A y B, la recta r_In vuelve a cortar a la gráfica en otros dos puntos a cada lado de A y B?

Para demostrarlo, basta estudiar una función de cuarto grado cualquiera que tenga puntos de inflexión, como p₀(x) = (x+1)²(x-1)². Esto es así porque todas las gráficas de funciones de 4º grado con puntos de inflexión se pueden obtener unas de otras mediante transformaciones afines, que respetan la razón simple de tres puntos (cociente de distancias entre tres puntos alineados). Las transformaciones afines se caracterizan porque sus ecuaciones son siempre lineales, a partir de lo cual es muy sencillo ver que se mantiene la razón simple.

Consecuentemente, también se mantiene la proporción de áreas. Así, las áreas delimitadas por la recta r_In y la gráfica de la función son iguales: A₁ = 2A₂ = 2A₃ (marcar la casilla Áreas).

Moviendo el deslizador t paso a paso puede verse cómo transformar cualquier gráfica de 4º grado en la de p₀(x). En el archivo Los puntos de inflexión de la función de 4º grado puede verse en detalle.

El valor x₀ = -b/(4a), es la abscisa del punto de inflexión de la derivada, y del mínimo de la derivada segunda, y es la media de las abscisas de las cuatro raíces, reales o complejas, del polinomio.

En Cambio de sistema de referencia en el plano y Afinidades puede verse mós sobre transformaciones afines.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 20 febrero 2014. Creado con GeoGebra