Teorema de Rolle

El teorema del Rolle afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior, intervalo abierto (a, b), entonces debe existir al menos un punto c ∈ (a, b) en el que se anula la derivada. Es decir, que entre dos puntos en que una función continua y derivable toma valores iguales, debe haber uno en el que la tangente sea horizontal.

Si la función no es constante, esto implica que debe tener un extremo. Las condiciones del Teorema de Rolle SON SUFICIENTES, pero NO SON NECESARIAS.

Cambia los límites a y b del intervalo moviendo los puntos sobre el eje OX.

Cambia la función en el campo de entrada f(x) = ...

Dem.: Como f es continua en [a, b], por el Teorema de Weierstrass, f([a, b]) es un intervalo cerrado [m, M], siendo m el valor mínimo absoluto y M el valor máximo absoluto e f(x) en [a, b]. Si m = M = f(a) = f(b) la función es constante y la derivada se anula en todo el intervalo. Si m ≠ M, al menos uno ocurre en c ∈ (a, b) y f'(c)=0.

Ignacio Larrosa Cañestro, 30 marzo 2017. Creado con GeoGebra