Dodecaedro truncado

El Dodecaedro truncado es un sólido arquimediano, resultado de truncar un dodecaedro a (√5-1)/(2√5) de las aristas desde cada vértice. Resultan 12 caras decagonales procedentes de las caras del dodecaedro, y 20 triángulares, todas de arista 1/√5 de las del dodecaedro. Tiene por tanto, 32 caras, 90 aristas y 60 vértices trivalentes, en los que concurren dos decágonos y un triángulo.

No tiene esfera inscrita, pues las caras no están a la misma distancia del centro, pero si circunscrita y tangente a las aristas o tangencial, igual ésta última a la del dodecaedro sin truncar.

El volumen del dodecaedro truncado V_Dt se calcula fácilmente a partir del volumen del dodecaedro sin truncar, √5(7+3√5)/4 d³, donde d=√5, menos 20 pirámides triangulares, cada una de las cuales tiene como base un triángulo equilátero de lado 1 y aristas laterales iguales a (√5-1)/2, y cuya altura se calcula fácilmente por el Teorema de Pitágoras.

El radio ρ de la esfera tangencial, es igual que el de la del dodecaedro de arista √5, ½φ²√5=(5+3√5)/4.

Conocido ρ, el radio R de la esfera circunscrita es muy fácil de hallar, pues ambos radios forman un triángulo rectángulo con la mitad de una arista.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 13 agosto 2022. Creado con GeoGebra