Geodésica en un dodecaedro pasando por 1 vértice

Una línea geodésica en una superficie es el camino localmente más corto entre dos puntos de la superficie, en el sentido que cualquier deformación alarga su longitud. No quiere decir que necesariamente sea globalmente mínimo. Una geodésica en una superficie desarrollable debe ser una línea recta en el desarrollo.

En el dodecaedro existen líneas geodésicas cerradas como la mostrada, que pasan por un solo vértice (J.S.Athreya & D.Aulicino 2018).

En los restantes poliedros regulares no existen tales trayectorias geodésicas (Dmitry Fuchs 2016).

Ésta línea geodésica divide en dos partes que son apenas un 10% mayor una que la otra. Para el cálcula de la proporción de áreas se ha tomado como uno la del tríangulo más pequeño. Si la arista del dodecaedro es 1, el área de este triángulo sería:

½·1·1/φ·sen(36º) = √(5-2√5)/4 ≃ 0.181635632

La longitud de la geodésica esta calculada suponiendo que la arista del dodecaedro es 1.

φ es la razón aúrea = (√5+1)/2=2cos(36º)≃1.6180339887, igual al cociente entre la diagonal y el lado del pentágono regular.

Está línea geodésica no es plana, forma un heptágono alabeado. por ello no tiene sentido hablar del área que encierra o de los volúmenes de dodecaedro que separa.

¿Cuántas de estas geodésicas pueden trazarse en un dodecaedro?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 14 junio 2022. Creado con GeoGebra