Una desigualdad importante

La suma de un número positivo x y su inverso 1/x es siempre mayor o igual que 2. Solo es 2 si x = 1.

También se demuestra directamente por la desigualdad de las medias aritmética y geométrica:

(x + 1/x)/2 ≥ √(x· 1/x) = 1 ⇒ x + 1/x ≥ 2

Y naturalmente utilizando el cálculo diferencial:

f(x)=x + 1/x ⇒ f'(x)=1- 1/x² , f''(x) = 2/x³
x > 0, f'(x)=0 ⇒ x = 1, f''(1) = 2 > 0 ⇒

Para x > 0, hay un único mínimo local, en x = 1, de valor f(1) = 2.

Es inmediato que para x < 0, el valor máximo es -2, que se alcanza para x = -1, dado que se trata de una función impar: f(-x)=-f(x).

También suele presentarse en la forma equivalente a/b + b/a ≥ 2; a, b > 0.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 29 noviembre 2025, Creado con GeoGebra