Desigualdad de Erdös-Mordell

Sea P un punto del interior del triángulo △ABC, y sean PU, PV y PW segmentos perpendiculares a los lados. Se tiene que

PA + PB + PC ≥ 2(PU + PV + PW)

La igualdad solo se da si el triángulo es equilátero y P es el circuncentro. En este caso los segmentos del primer miembro de la desigualdad son iguales al radio de la circunferencia circunscrita, y los de lado derecho al radio de la inscrita. Es decir, después de simplificar un 3, queda R = 2r

Pulsando los botones correspondientes, el triángulo se transforma en equilátero y el punto P se situa en el circuncentro O. En cualquier momento puede desplazarse libremente el vértice A y el punto P, éste último limitado al interior del triángulo.

La demostración es sencilla, consiste en adosar al △ABC escalado un factor l, dos triángulos semejantes a △APV y △APW, escalados por factores c y b respectivamente. Se forma así un trapecio rectángulo, cuya arista perpendicular a las bases mide cv + bw, y la no perpendicular al. Por tanto, es al ≥ cv + bw. Repitiendo el proceso con los vértices B y C y sumado las tres desigualdades, se obtiene la desigualdad deseada.

Se usa que x + 1/x ≥ 2 ∀x > 0, desigualdad que se demuestar fácilmente:

x + 1/x ≥ 2 ⇔ x² + 1 ≥ 2x ⇔ x² - 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x- 1)² ≥ 0 □

La igualdad solo se da si x = 1. Esto implica que a/b = b/a = a/c=c/a = b/c = c/a = 1, y el triángulo debe ser equilátero.

Por otra parte, para que se de la igualdad, el trapecio obtenido en la segunda figura debe ser un rectángulo. Es decir, que los ángulos α_1 + β y α_2 + γ sean rectos. De esto se deduce que ∠VPA = β y ∠APW = γ.

Considerando los otros dos trapecios formados sobre los otros lados , concluimos que

∠VPA = ∠CPV = β, ∠APW = ∠WPB = γ, ∠BPU = ∠UPC = α

Lo que implica que P es el circuncentro del △ABC.

Es decir, la igualdad solo se da si P es el circuncentro de un triángulo equilátero.

Tomado de A Visual Proof of the Erdös-Mordell Inequality (Claudi Alsina and Roger B. Nelsen, Forum Geometricorum Vol. 7 (2007) pp. 99-102)

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 29 noviembre 2025. Creado con GeoGebra