Círculo mixtilíneo

El círculo mixtilíneo Γ_A de un triángulo es tangente a los lados b y c, y a la circunferencia circunscrita Γ. A está ultima lo puede ser externa o internamente, aunque el último es el caso de mayor interés, y el que se representa aquí.

Un resultado importante es que el incentro del triángulo es el punto medio del segmento que une los puntos de tangencia con los lados. Conocido como Teorema de Nixon (nada que ver con el que fuera presidente de EEUU): R. C. J. Nixon, Question 10693, Reprints of Educational Times, London (1863-1918) 55 (1891) 107. Aunque también se le atribuye como lema a Le Verrier. Igualmente, puede considerarse como un corolario del Lema de Sawayama.

Con este resultado es muy sencilla su construcción: i) se traza la perpendicular a bisectriz b_A del ángulo A por el incentro I, que corta a los lados AB y AC en los puntos E y F, respectivamente; ii) se interseca la perpendicular al lado por uno de estos puntos, p.e. el E, con la bisectriz, para obtener el centro I_A del círculo mixtilíneo Γ_A, cuyo radio es I_AE. El punto de tangencia T con la circunferencia circunscrita Γ se obtiene intersecando esta con la semirrecta OI_A, siendo O el centro de Γ.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 11 noviembre 2025. Creado con GeoGebra