Curvas de Bézier

Una Curva de Bézier determinada por n+1 puntos de control {A₀, A₁, .., A_n} es un arco de curva algebraica de grado n, tangente a A₀A₁ y a A_n-1A_n, descrita por un punto P de la forma

P(t) = ∑_k=0ⁿ Comb(n,k)(1-t)^n-kt^kA_k, 0 ≤ t ≤ 1

Separando las coordenadas, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la curva (en ℝ², ℝ³, ..). Una recta cualquiera la puede cortar por tanto en un máximo de n puntos. La curva se halla contenida completamente en la envolvente convexa de los puntos de control. Puede tener puntos de retroceso y autointersecarse.

Estas curvas pueden enlazarse o cerrarse, haciendo coincidir los puntos iniciales y finales. Para que el enlace sea suave, los puntos anterior y posterior al de enlace deben estar alineados con este. Por tanto, una curva de Bézier cerrada debe tener al menos 4 puntos de control, el primero y último iguales. Y para que sea suave se requieran al menos 5.

El punto P(t) de la curva puede construirse mediante un armazón de puntos y segmentos auxiliares. Si los puntos de control son de orden 0, se construyen n puntos de orden 1 de la forma B_i=(1-t)A_i+tA_i+1, que recorre el segmento A_iA_i+1 cuando t varía de 0 a 1. A partir de los de orden 1, se construyen igualmente n-1 puntos de orden 2, y así sucesivamente hasta llegar a un único punto de orden n. Este es P, el punto que traza la curva, que se desplaza instantáneamente en un segmento tangente a la curva. Puede verse este armazón marcando la casilla correspondiente. Es mejor utilizar como mucho 5 puntos de control para mostrar este armazón. Con tres puntos de control, se obtiene un arco de parábola (Entramados de segmentos).

La curva se modifica de forma continua al desplazar los puntos de control. Pero al añadir/suprimir puntos de control, cambia globalmente de forma por lo general notable.

Se utilizan ampliamente en diseño gráfico e industrial para describir curvas y superficies. Pierre Bézier fue un ingeniero francés (1910-1999), que dearrolló estas curvas o splines trabajando en la empresa automovilística Renault.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 4 abril 2023. Creado con GeoGebra