Aproximaciones a la integral definida

El área bajo la gráfica de una función se calcula mediante la integral definida, pero es necesario conocer una primitiva de la función. Para calcularla aproximadamente, se divide el intervalo de integración en n partes y se multiplica la longitud h de los subintervalos por:

i) El valor mínimo de la función en el subintervalo: Se sustituye cada segmento del área por un rectángulo menor: Suma inferior.

ii) El valor máximo de la función en el subintervalo: Se sustituye cada segmento del área por un rectángulo mayor: Suma superior.

iii) El promedio de los valores de la función en los extremos del subintervalo: Se sustituye cada segmento del área por la de un trapecio: Suma trapezoidal.

iv) En cada dos subintervalos consecutivos, se suman los valores extremos con cuatro veces el intermedio y se divide por seis. Se sustituye cada par de segmentos consecutivos del área por un "trapecio parabólico", limitado por el arco de parábola que mejor aproxima a la función en esos subintervalos: Suma de Simpson. El número de subintervalos debe ser par.

Puedes cambiar el número de subintervalos con el deslizador n y los límites de integración a y b con las cajas de entrada correspondientes. Pueden introducirse como expresiones: sqrt(3), pi/2, ... La escala se ajusta automáticamente. Para cambiar la función, introduce su expresión en la caja de entrada del panel izquierdo. Por ejemplo: f(x) = x², f(x) = sqrt(x), f(x) = sen(x), (x - x^2)e^x, ...

Para apreciar mejor la figura, no actives todas las casillas a la vez.

Si la función es positiva en el intervalo, ¿cómo se ordenan de menor a mayor las tres sumas y el área real?

¿Siempre ocurre igual?

Si la función es monótona en cada uno de los subintervalos, ¿cómo es exactamente la suma trapezoidal comparada con las sumas superior e inferior?

Si la función es cóncava en todo el intervalo, ¿cómo es la suma trapezoidal comparada con el área? ¿y si es convexa?

Si la función es cuadrática o cúbica, la suma de Simpson es exacta.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin). 26 abril 2013. Creado con GeoGebra