El problema de Alhazen

Éste problema, resuelto por Alhacen en el s. XI aunque ya fue planteado por Ptolomeo en el 150 d.c., consiste en determinar el punto de un espejo circular c en que debe reflejarse un rayo luminoso para ir desde un punto A a otro B. Ambos puntos pueden estar dentro o fuera de la circunferencia c.

La solución que se presenta aquí se debe a Christian Huygens. Halla los posibles puntos de reflexión, hasta 4, como intersección de la circunferencia c con una hipérbola equilátera ω, cuyo centro es el punto medio M de los inversos A' y B' de los puntos A y B en la circunferencia c, y que pasa por A', B' y el centro O de c, lo que es suficiente para determinarla. Sus asíntotas son las paralelas por M a las bisectrices del ∠AOB. La hipérbola ω también pasa por tanto por el simétrico de O respecto de M y por el simétrico de cualquiera de esos cuatro puntos respecto a las asíntotas.

Los puntos de intersección (0,1, 2, 3 o 4) no siempre se corresponden con puntos de reflexión: es necesario que A y B estén del mismo lado respecto a un arco de la circunferencia c que pase por el punto de intersección. Es decir, que el candidato a trayecto del rayo no atraviese a la circunferencia en el punto de reflexión.

En el caso general no puede resolverse con regla y compás, pues el sistema de dos ecuaciones de 2º grado con dos incógnitas correspondiente a la circunferencia y la hipérbola, conduce a una ecuación de 4º grado en cualquiera de las coordenadas. Hay situaciones particulares, como cuando A y B están en un mismo diámetro, en las que si es posible.

Puede pararse/reiniciarse la animación con el control de la esquina inferior izquierda, así como desplazarse los puntos A y O.

Claudio Ptolomeo (Ptolemaida
Hermia, c. 100 d.c. – Canopo, c. 170 d.c.) fue un matemático astrónomo y geógrafo egipcio.

Alhazen o Alhacén (Basora, actual Irak, 1 de julio del 965 – El Cairo, Egipto, 6 de marzo del 1040), cuyo nombre real era Abū ‘Alī al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytam, fue un astrónomo, físico y matemático árabe.

Christian Huygens (La Haya, 14 de abril de 1629 – ibídem, 8 de julio de 1695), fue un astrónomo, físico y matemático neerlandés.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 enero 2022. Creado con GeoGebra