Billar circular (Problema de Alhazen simplificado)

Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar circular. ¿A
que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que al rebotar una vez golpee a B, sin pasar por el centro de la circunferencia?
Se supone que sin efecto (las bolas son puntuales, no giran sobre si mismas).
Si las bolas no están en un mismo diámetro, Problema de Alhazen, no puede resolverse con regla y compás, requiriendo algebraicamente la resolución de una ecuación de 4º grado.

Basta invertir A y B en c para obtener A' y B', y la intersección de la mediatriz del segmento A'B' con la circunferencia, si la hay, nos da el puntos de reflexión.

La justificación no es complicada, partiendo de que la inversión es una transformación conforme (que mantiene los ángulos).

Dando el problema por resuelto, sea c la circunferencia del billar y P uno de los dos puntos solución (el otro es el simétrico respecto al diámetro que pasa por A y B). Considerando la inversión respcto a c, la recta AP se
transforma en la circunferencia c_A que pasa por A', O y P, y la recta BP en la circunferencia c_B que pasa por B', O y P.

La recta OP se transforma en si misma. Ambas circunferencias c_A y c_B pasan por O y por P y deben formar ángulos iguales en P con la cuerda común OP, porque lo forman sus inversas las rectas r_AP y r_BP, por lo que tienen el mismo radio.

Si las proyecciones de los centros O_A y O_B de estas circunferencias sobre la recta AB son M_A y M_B, se tiene que M_A es el punto medio de O y A', y M_b el punto medio de O y B'. Si Q es el punto medio de OP, también lo es de O_A y O_B, y su proyección sobre la recta AB será N, el punto medio de M_A y M_B.

Aplicando ahora una homotecia de centro C y razón 2, N se transforma en M, proyección de P sobre la recta AB, mientras que M_A y M_B se transforman en A' y B', por lo que M resulta ser el punto medio de A' y B'.

Si a y b son las coordenadas de A y B, tomando O como origen, las coordenadas de A' y B' son 1/a y -1/b, y la de M será m = (1/a - 1/b)/2. Para que el problema tenga solución, debe ser |m| < r, donde r es el radio de la circunferencia:

-2r < 1/a - 1/b < 2r

Y donde no es imprescindible que a, b < r (el perímetro de la mesa de billar
podría ser solo en parte circular).

El problema se discutió ampliamente en el grupo de noticias es.ciencia.matematicas, donde se dieron también otras soluciones.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 agosto 2016. Creado con GeoGebra