Termita en ortoedro

Una termita avanza de un vértice de un ortoedro hasta su opuesto en línea recta. Si el ortoedro está compuesto por m×n×p cubos unitarios, ¿cuántos de estos cubos atravesará la termita?

Cambia de cubo cada vez que atraviesa uno de los (m-1) + (p-1) + (q-1) planos que separan los cubos, número al que debemos sumar el cubo de partida.

Pero atraviesa una arista perpendicular a los lados de longitud m y n (mcd(m, n) - 1) veces, por lo que hay que descontar esta cantidad, así como (mcd(n, p) - 1) y mcd(m, p) - 1). Pero si atraviesa un vértice interior, lo que ocurre (mcd(m, n, p) - 1) veces, atraviesa tres aristas. El nuevo cubo por el que pasa lo hemos contado tres veces, descontado otras tres, y por tanto debemos añadirlo una vez. En definitiva:

N = 1 + (m-1) + (n-1) + (p-1) - (mcd(m, n) - 1) - (mcd(n, p) - 1) - (mcd(p, m) - 1) + (mcd(m, n, p) - 1)
    = m + n + p - mcd(m, n) - mcd(n, p) - mcd(p, m) + mcd(m, n, p)

Si mcd(m, n) = mcd(n, p) = mcd(p, m) = 1, queda N = m + n + p - 2.

En la figura, m = 8, n = 6 y p = 4, por lo que se atraviesan 8 + 6 + 4 - 2 - 2 - 4 + 2 = 12 cubos.

Para un problema similar en 2 dimensiones ver La hormiga en la plaza.

Ignacio Larrosa Cañestro (grupo XeoDin), 29 junio 2021. Creado con GeoGebra