Versiera de Agnesi

La Versiera, tambíen conocida como Bruja de Agnesi por un error de traducción, es una cúbica, curva algebraica de grado tres.

Esta definida a partir de un punto O y una recta r que no pasa por él, a una distancia a. Se dibuja el círculo c de diámetro a que pasa por O y es tangente a r en el punto A. Una secante a r por O corta a r en el punto B y a c en el punto C. La intersección de la perpendicular a r por b con la paralela por C es el punto P que define la curva, su lugar geométrico.

Para representarla, habitualmente se toma el origen en O y r: y = a. El círculo tiene entonces la ecuación x² + (y-a/2)² = a²/4. Tomando x = at, se deducen entonces fácilmente sus ecuaciones paramétricas {x = at, y = a/(1 + t²)} y a partir de ellas su ecuación explícita, que define una función racional y = f(x) = a³/(a² + x²). El eje Ox es una asíntota horizontal, el punto A=(0, a) es un máximo y los puintos (±a/√3, 3a/4) son puntos de inflexión, siendo la curva simétrica respecto al eje Oy.

El área comprendida entre la curva y la asíntota se calcula fácilmente con una integral impropia y su valor es πa², cuatro veces la del círculo empleado para construirla. Curiosamente los puntos de inflexión dividen a ésta área en tres partes de igual superficie, ⅓ πa².

María Gaëtana Agnesi (Milán, 16 de mayo de 1718 - ib., 9 de enero de 1799) fué una matemática italiana que destacó por su trabajo en el calculo diferencial. Su obra más conoicida es Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 16 mayo 2023. Creado con GeoGebra