Triángulo a partir de la división en tres partes de un segmento

Se parte un segmento AB de longitud 1 por dos puntos X e Y, situados a distancias x e y de su extremo A, escogidos con probabilidad uniforme. ¿Cuál es la probabilidad de que con los tres trozos obtenidos pueda formarse un triángulo?

Si representamos en los ejes OX y OY las distancias x e y, el espacio muestral es un cuadrado de lado 1. Se han obtenido 1000 puntos distribuidos con probabilidad uniforme en todo el cuadrado, coloreados de rojo si puede formarse un triángulo y de azul en caso contrario. Moviendo el deslizador n, se resalta cada uno de los puntos, con un círculo verde, y puedes comprobar en el diagrama situado encima del cuadro, si se forma o o no un triángulo, según que los arcos de centros X e Y se corten o no.

Pulsando en el botón [Animación], los puntos se van mostrando uno a uno y puedes ver como va cambiando la frecuencia. Cuando acabe la animación, pulsa el botón [Recalcula 10 series de puntos].

Pulsando en el botón [Recalcula todos los puntos] se obtiene una nueva serie completa de 1000 puntos. Hazlo repetidamente y observas laa frecuencias obtenidas. En la celda A2 se tiene el valor de la última frecuencia, y en las celdas B1:B10 las diez últimas.

¿Puedes aventurar cual es la probabilidad de que pueda formarse un triángulo? Marca la casilla ayuda para obtener una pista o corroborar tu intuición. ¿Puedes demostrar ahora que esa es la probabilidad? Recuerda la DESIGUALDAD TRIANGULAR. Puedes ver la demostración marcando la otra casilla.

Pulsa en el botón [Recalcula 10 series de puntos], para repetir el experimento completo 10 veces, obteniendo 10 nuevas medias. ¿Como varía la media de las 10 frecuencias, comparando con la variación de las freecuencias?

Anota en la las columnas C y D 10 medias y desviaciones típicas. Copia las celdas B12 y B13 en las celdas C12 y C13, para obtener la media y la desviación típica de las 10 medias anteriores. ¿Qué puedes decir de sus valores, comparados con las medias y desviaciones típicas que guardaste en C1:C10 y D1:D10?

AMPLIACIÓN:

Si primero hicieramos un corte en un punto X entre A y B, y luego otro en un punto Y entre X y B, ¿cambiaría algo la probabilidad?
¿Y si el segundo corte lo hicieramos en el segmento más largo de los dos producidos por el primer corte?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 27 junio 2013. Creado con GeoGebra