Triángulo isósceles 20°, 80°, 80°

En un triángulo ABC, con ∠C = 20° se trazan las rectas DB, con D en AC, que forma un ángulo de 50° con AB, y AE, con E en BC, que forma un ángulo de 60° con AB. El ∠CAF = 20°, y el ∠DBF = 30°. ¿Cuál es el valor del ángulo α = ∠DFA?

Como el máximo común divisor de todos los ángulos implicados es 10° = 180°/18, este triángulo se puede insertar fácilmente en un octodecágono regular con centro en el vértice C, y dos vértices consecutivos en A y B, que seran V₁ y V₂, numerando los demás vértices correlativamente hasta V₁₈.

El segmento BD forma parte de la diagonal BV₁₄, que es el lado de un triángulo equilátero de vértices B, V₈ y V₁₄.

El triángulo ACF es isósceles, pues tiene dos ángulos de 20°. Tracemos la mediatriz correspondiente al vértice F. Como corta a AC en su punto medio, esta mediatriz contendrá al lado de un triángulo equilátero de centro C y vértices V₄, V₁₀ y V₁₆.

La simétrica de esta mediatriz respecto al lado BC es la diagonal V₆V₁₈ del octodecágono, que también es el lado de un triángulo equilatero con tercer vértice V₁₂. Esta diagonal es la simétrica respecto de AC de BV₁₄, por lo que la cortan en el mismo punto, el D.

Por tanto, las rectas V₆V₁₈ y DF son la misma. En el triángulo V₁₈AF tenemos que el ∠V₁₈AF = 100°, pues abarca diez lados del octodecágono, el ∠FV₁₈A = 50°, pues abarca cinco lados, por lo que el ∠DFA es de 180° - 100° - 50° = 30°.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 9 marzo 2014. Creado con GeoGebra