Propiedad de mínimo del triángulo órtico

El triángulo órtico de un triángulo acutángulo ABC es el que tiene como vértices los pies de las alturas de aquel. Tiene la propiedad de que es el triángulo de perímetro mínimo inscrito en ABC.

Mueve los puntos P, Q y R para tratar de minimizar el perímetro del triángulo PQR. Cuando creas tenerlo, haz clic en la casilla 'Triángulo Órtico' y compara.

Desmarca esa casilla, desplaza los puntos P, Q y R y marca la casilla 'Refl. en lados'. El perímetro de PQR es igual a la longitud de la quebrada P''RQP'. Los puntos P' y P'' solo dependen de la posición de P, y así claramente podemos disminuir el perímetro del triángulo desplazando Q y R para que estén alineados con P' y P''. Obsérvalo.

Pulsando el botón 'Fijar Q y R para P dado', los cuatro puntos quedan alineados aunque se mueva P.

¿Para que posición de P será mínimo el perímetro? Observemos que el triángulo P''AP' es isósceles, puesto que AP = AP' = AP'', y que el ángulo <P''AP' es constantemente igual a 2∠BAC. Por tanto, la distancia P''P' será mínima cuando lo sea AP, es decir, cuando P sea el pie de la altura correspondiente al vértice A. Este triángulo de perímetro mínimo es único: P debe ser el pie de la altura y Q y R deben estar en la línea P''P'. Como podemos repetir el proceso con QA o con R, llegamos a la conclusión de que el triángulo PQR de perímetro mínimo es el triángulo órtico de ABC.

Ésta es la demostración de L. Fejér, mucho más concisa que la previa, también sintética, de su profesor H.A. Schwarz y que la original de Fagnano, basada en el cálculo infinitesimal.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 23 julio 2015. Creado con GeoGebra